El 7º desafío de la Real Sociedad Matemática Española presentado en el diario "El País" va sobre las teclas de un piano. Aqui podeis ver el enunciado del problema, tanto en video como enunciado.
Se trata de un piano en el cual se van pulsando unas teclas siguiendo una serie numérica. Se pulsa Do, despues Re, salto una y pulso Fa, salto dos, etc.
Las preguntas son muy sencillas y se refieren a cuando hayamos pulsado 7000 notas:
1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
La respuesta hay que mandarla antes de las 12 de la noche de hoy. Yo lo lei el jueves y, para fantasmear, diré que tardé 5 minutos en encontrar la solución pues va de congruencias y me resultó facil encontrar un patrón.
Os la dejo por si la quereis copiar y enviarla.
Mi propuesta de solución es la siguiente:
Partimos de que hay 7 notas, las cuales vamos a numerar de 1 a 7 (DO=1,RE=2,MI=3,FA=4,SOL=5,LA=6,SI=7). Al ser un ciclo de 7 notas, la tecla 8ª coincidira con la 1ª, la 9ª con la 2ª y así sucesivamente. Trabajamos con congruencias en módulo 7.
T1=1
T2=T1+1=2
T3=T2+2=4
T4=T3+3=7
T5=T4+4=11=4 -> Porque la 11ª nota coincide con la 4ª nota
T6=T5+5=9=2 -> Porque la 9ª nota coincide con la 2ª nota
T7=T6+6=8=1 -> Porque la 8ª nota coincide con la 1ª nota
T8=T7+7=T7+0(Porque al desplazarse 7 teclas es como no desplazarse ninguna ya que es la misma nota)=1
T9=T8+8=T8+1=2
...
Se observa que hay un ciclo de repeticiones de notas cada 7 teclas. Este se debe a que +4 es congruente modulo 7 con -3, +5 con -2 y +6 con -1.
Observamos entonces que las notas serían DO,RE,FA,SI,FA,RE,DO,DO,RE,FA,SI,...
Respuestas:
1.Como cada ciclo de 7 teclas se pulsa 2 veces la nota DO, en 7000 se pulsará 2000 veces.
2.Las notas que no se pulsarían nunca serían MI,SOL,LA.
Espero que os sirva al menos para saciar la curiosidad ya que no es un problema planteado normalmente como enigma matemático.
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